Estimates of the finite element Stokes projection in W 1 , ∞ Stabilité dans W 1 , ∞ de la projection de Stokes par éléments finis

We prove stability of the finite element Stokes projection in the product space W 1,∞(Ω) × L∞(Ω). The proof relies on weighted L estimates for regularized Green’s functions associated with the Stokes problem and on a weighted inf-sup condition. The domain is a polygon or a polyhedron with a Lipschitz-continuous boundary, satisfying suitable sufficient conditions on the inner angles of its boundary, so that the exact solution is bounded in W 1,∞(Ω) × L∞(Ω). The triangulation is shape-regular and quasi-uniform. The finite element spaces satisfy a super-approximation property, which is shown to be valid for commonly used stable finite element spaces. To cite this article: V. Girault, R.H. Nochetto, R. Scott, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). Résumé Nous démontrons que la norme du maximum du gradient de la vitesse et celle de la pression, calculés par des méthodes d’éléments finis usuelles pour discrétiser le problème de Stokes, sont bornées indépendamment du pas de la discrétisation. La démonstration est basée sur des estimations à poids dans L pour des fonctions de Green associées au problème de Stokes et sur une condition inf-sup à poids. Le domaine est un polygone ou un polyèdre à frontière lipschitzienne dont les angles intérieurs satisfont des conditions suffisantes convenables pour assurer que la solution exacte est aussi bornée dans W 1,∞(Ω)×L∞(Ω). La triangulation est uniformément régulière. Pour citer cet article : V. Girault, R.H. Nochetto, R. Scott, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). Email addresses: [email protected] (Vivette Girault), [email protected] (Ricardo H. Nochetto), [email protected] (Ridgway Scott). Preprint submitted to Elsevier Science 2 avril 2004 Version française abrégée Le but de cette Note est de montrer que le gradient de la vitesse de la projection de Stokes discrétisée par une méthode d’éléments finis usuelle, ainsi que sa pression discrète associée, sont bornés dans la norme du maximum. Le problème est posé dans un domaine Ω polygonal ou polyèdrique à frontière lipschitzienne, en dimension d = 2 ou 3, décomposé par une triangulation Th formée de d-simplexes, h étant le pas de la discrétisation. On se donne une vitesse u ∈ H 0 (Ω), à divergence nulle, une pression p ∈ L0(Ω), i.e. à moyenne nulle, une triangulation Th de Ω, et deux espaces d’éléments finis Xh ⊂ H 0 (Ω) and Mh ⊂ L0(Ω), ayant des propriétés convenables d’approximation et satisfaisant une condition inf-sup discrète uniforme. On définit uh ∈ Xh et ph ∈Mh par : ∫